כבר למעלה מ-120 שנה שפרס נובל נחשב לפסגת השאיפות של מדענים ואנשי רוח – הוקרה בינלאומית שלא תסולא בפז, במספר מצומצם של תחומי דעת ועשייה. מקומם של המתמטיקאים נפקד לרוב מהמעמד היוקרתי, והשמועה שנכרכה בכך היא נקמתו של מייסד הפרס, אלפרד נובל, במתמטיקאי גוסטה מיטאג-לפלר (Mittag-Leffler) – אשר הועדף על פניו בידי מושא אהבתו של נובל, המתמטיקאית סופיה קובלבסקאיה (Kovalevskaya).
4 צפייה בגלריה
עבודות שמשתרעות על פני תחומים רבים, ובעלות השפעה נרחבת במתמטיקה. קאשיווארה בוועידת המתמטיקה העולמית במדריד, 2006
(צילום: Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach)
למתמטיקאים שתחום מחקרם לא גולש לאחד התחומים שבהם מוענקים פרסי נובל, יש כמה פרסים מוכרים קצת פחות שטוענים לכתר "הנובל של המתמטיקה", כמו מדליית פילדס (Fields) שמוענקת פעם בארבע שנים לחוקרים בני פחות מ-40. ב-2003 נוסד בנורבגיה פרס יוקרתי נוסף למתמטיקאים, פרס אַבֶּל שמו. מדי שנה מוענק הפרס לדמויות מופת במתמטיקה העולמית, ובמשך השנים היו ביניהם שני ישראלים: הלל פורסטנברג ואבי ויגדרזון. בשנה שעברה הפרס הוענק למישל טלגרן (Talagrand) על תרומתו לחקר האקראיות. לפני ימים אחדים הודיעה קרן אבל כי הפרס לשנת 2025 יוענק למתמטיקאי היפני מסאקי קאשיווארה (Kashiwara), בן 78, שעבודותיו משתרעות על תחומים רבים ובראשם פיתוח תורת המודול-D.
עוד כתבות באתר מכון דוידסון לחינוך מדעי:
בראשית 2 - הפרויקט נכנס להקפאה
מחלות ללא גבולות: חצבת ושמן כבד דגים
תרופה חדשה לשיכוך כאב
אגדה יפנית
קאשיווארה נולד ב-30 בינואר 1947 בעיר יוקי הסמוכה לטוקיו. אביו עבד במשרד החקלאות, והמשפחה נדדה עמו בין מקומות.
בהיותו תלמיד בית ספר, הגיע אחד המפגשים הראשונים שלו עם מתמטיקה. ולא הייתה זו היכרות בנאלית עם מספרים ומשוואות, כי אם פגישה עם בעיה עתיקה, שמקורה בתקופת אדו (Edo) המפוארת. הבעיה נקראת צוּרוּקַמֶזׇאן (Tsurukamezan): נתונה קבוצה של עגורים וצבים. אם מספר הראשים בקבוצה הוא X ומספר הרגליים הוא Y, כמה עגורים וכמה צבים יש? מכאן גם שם הבעיה: צורו ביפנית = עגור; קמה = צב; זאן = מתמטיקה.
4 צפייה בגלריה
שיתוף פעולה ארוך שנים שהניב פריצות דרך מתמטיות. קאשיווארה (מימין) עם מיקיו סאטו
(צילום: מתוך מאמר של פייר שפירא לכבוד קשיווארה)
קאשיווארה הצעיר אהב לנסות ולפתור את המשוואה המתקבלת באופן הכללי ביותר, ובכך ביטא ניצני חשיבה של מתמטיקאי מדופלם. הדיפלומה עצמה הגיעה שנים אחדות אחר כך, כאשר בגיל 22 השלים את לימודי התואר הראשון במתמטיקה באוניברסיטת טוקיו. אז גם התוודע למיקיו סאטו (Sato), מאבות האנליזה האלגברית שלימים יקבל את פרס וולף, והפך למנחה שלו לתואר שני.
שבר את המשוואה
כבר בעבודת המסטר שלו הניח קאשיווארה את היסודות למה שיכונה בהמשך תורת מודול-D, ואשר נחשבת להישג המשמעותי ביותר שלו, בקריירה אקדמית שנפרשת על פני יותר מיובל שנים.
סאטו היה כאמור חלוץ האנליזה האלגברית, שפירושה שימוש בכלים אלגבריים על מנת לפתור בעיות הקשורות בשינויים. בעיות אלה מתוארות לרוב על ידי משוואות דיפרנציאליות, כפי שנעשה עם החוק השני של ניוטון, משוואת החום, משוואת הגלים, משוואת שרדינגר ועוד ועוד. יש כמובן משוואות רבות שאין להן שימוש בפיזיקה והעניין בהן הוא עיוני גרידא. לפעמים לא עוסקים בפתרונות עצמם, אלא רק בתכונות המשוואה.
אחת מהתכונות הללו היא סינגולריות – אזורים שבהם אין בכלל פתרון מוגדר לבעיה. הכל מסתבך עוד יותר כאשר עוברים למישור המרוכב, שבו חיים זה לצד זה מספרים ממשיים ומספרים מדומים, המיוצגים בעזרת "היחידה המדומה", שורש של מינוס אחת (1-√). במישור המרוכב, ההתנהגות המשונה של הפתרונות סביב סינגולריות מתוארת ע"י אובייקט מתמטי הנקרא חבורת מונודרומיה (monodromy).
המתמטיקאי דויד הילברט (Hilbert), בן תור הזהב של המתמטיקה בגרמניה של מפנה המאה ה-20, הציג 23 בעיות פתוחות שעיצבו את העשורים לאחר מכן. הבעיה ה-21 עסקה במשוואות דיפרנציאליות במישור המרוכב, ובפרט: האם אנחנו יכולים לומר שחבורת המונודרומיה של סוג מסוים של מערכת משוואות דיפרנציאליות תהיה בעלת תכונות מסוימות? האם אפשר לומר בדיוק היכן הנקודות המשונות יופיעו בבעיות אלה?
הגישה של קאשיווארה לבעיה הייתה: אם יש לי ארגז כלים שמשתתפים במשוואה הדיפרנציאלית – כלומר אופרטורי גזירה למיניהם, שהם מכשירים לבדיקת שינויים של פונקציה – ואני רוצה לבדוק כיצד האופרטורים הללו פועלים על אוסף של פונקציות, אז יש לי מעין "סביבת עבודה" שבה אני יכול לבדוק את האינטראקציה בין האופרטורים לפונקציות. מודול-D הוא דרך לבחון כיצד פונקציות מתנהגות בהשפעת אופרטורי הגזירה הללו, תוך קישור לאלגברה ולגאומטריה.
תוך שימוש בתורה הזו, שהייתה אז בחיתוליה, הוכיח קאשאיוורה ב-1980 שבכל ממד תמיד תתקיים משוואה דיפרנציאלית שתמלא אחר התנאי שחיפש הילברט. זה לא היה הפתרון המלא לבעיה, שלבסוף נפתרה ב-1989 באמצעות דוגמה נגדית שהראתה שההשערה לא מתקיימת, אך היה זה צעד משמעותי ביישום תורת מודול-D שהתפתחה מהעבודות של סאטו באנליזה אלגברית.
4 צפייה בגלריה
מאמר מכונן באנליזה אלגברית. אסופת מאמרים של קאשיווארה בעריכת קאוואי לכבודו של סאטו
(צילום: Academic Press)
בתחילת שנות ה-70 ביצע סאטו במקביל למתמטיקאי הסובייטי, לימים ישראלי, יוסף ברנשטיין (כיום פרופ' אמריטוס באוניברסיטת תל אביב), עבודה חשובה נוספת באנליזה אלגברית. בהיותו תלמיד דוקטורט באוניברסיטת קיוטו, אליה עבר עם סאטו, פרסם קאשיווארה ב-1973 מאמר מכונן נוסף באנליזה אלגברית, עם סאטו ועם טקהירו קאוואי (Kawai), שזכה לכינוי "מאמר SKK" על שם שלושת המחברים.
נתן הצגה
מכאן ואילך נפרצו הסכרים בעבודתו של קאשיווארה, ודבר הוביל לדבר. עבודתו השפיעה על תחומים רבים של המתמטיקה, שכל אחד מהם יכול להיות כר פורה למחקר מעמיק, דבר ראוי לציון ולא נפוץ, כפי שאפשר לראות מכך שהוענק לו הפרס היוקרתי.
וכך, לאחר ההצלחה ביישום תורת מודול-D בבעיה ה-21 של הילברט, קאשיווארה ניסה לחבר לתורה הזו גם את תחום הטופולוגיה, העוסק בחקר תכונות המרחב הנשמרות תחת עיוותים רציפים כמו כיווץ או מתיחה. בפרט, הוא התעניין בתת-תחום שנקרא תורת האלומות (Sheaves theory) ועוסק ב"הדבקה" של חלקים במרחב במטרה להבטיח שהם מתאימים ועקביים זה עם זה. סביב העיסוק באלומות החל שיתוף הפעולה הממושך שלו עם המתמטיקאי הצרפתי היהודי פייר שפירא (Schapira). יחד כתבו השניים את הספר "אלומות על יריעות".
הדרך מתורת האלומות הוליכה את קאשיווארה לתורת החבורות, ובאופן ספציפי לכלי בולט המשמש למחקר של חבורות – תורת ההצגות, שמשתמשת באלגברה כדי ללמוד תופעות בסימטריה, ואשר יש להן שימושים רבים בפיזיקה – בין היתר בפיזיקה של מצב מוצק, שבה לכל גביש יש "חבורת סימטריה" משלו שמייצגת את ההתנהגות של המבנה תחת שיקופים, סיבובים ופעולות נוספות.
חבורות נוספות מתחום המכניקה הסטטיסטית הן "החבורות הקוונטיות". כפי שאפשר להבין משמן, הן הופיעו לראשונה בפיזיקה הקוונטית, אך בפועל הן צברו עניין רב בקרב המתמטיקאים. אחד מהם היה קאשיווארה, שהשתמש בחבורות האלה לצורך פיתוחו של "הבסיס הגבישי" ב-1990.
הבסיס הגבישי מאפשר להציג את אוסף הסימטריות של אובייקט מתמטי, המתואר באמצעות חבורה קוונטית, כגרף – כלומר, כאוסף של נקודות וקווים המחברים ביניהם. הייצוג הסימבולי הזה של נקודות וקווים, או המינוח המקצועי: צמתים וקשתות, נועד להכליל אובייקטים שונים בעלי סימטריות זהות תחת אותה קורת גג. יש שימצאו בכך אולי, סגירת מעגל עם בעיית הצורוקמזאן שבה עסק קאשיווארה בנעוריו.
בחיבור בין חבורות וגרפים בנה קאשיווארה גשר נוסף, ולמילה 'גשר' כאן יש הקשר היסטורי נאה. ראשיתה של תורת הגרפים מתוארכת ל-1736, וקשורה לפתרון בעיה שהציקה מאוד לתושבי העיר קניגסברג בפרוסיה המזרחית – כיום קלינינגרד, מובלעת רוסית בין פולין לליטא. הקניגסברגים סברו שלא ניתן לחצות את שבעת הגשרים שבעיר זה אחר זה, בלי לעבור לפחות על אחד מהם יותר מפעם אחת.
כאשר הוצגה הבעיה בפני המתמטיקאי הפורה בהיסטוריה, לאונרד אוילר (Euler) הוא הבין מיד שפתרונה לא יהא תלוי בגאוגרפיה של העיר ואפילו לא באורכי הגשרים, אלא רק בהבנת החיבורים בין חלקי העיר. כל חלק יש לסמן בנקודה, וכל גשר בקו. באמצעות שרטוט גרף הממפה את גשרי קניגסברג, הוא הצליח להוכיח שמסלול כזה אינו אפשרי – וחיבר מאמר שנחשב כיום למאמר הראשון בתורת הגרפים.
אנחנו נשארים בארץ
על אף שיתופי פעולה מרובים עם מתמטיקאים מסביב לעולם, נותר קאשיווארה נאמן לאקדמיה היפנית רוב שנותיו. לאחר השלמת הדוקטורט שלו הוא היה חבר סגל באוניברסיטת נגויה (Nagoya), ולאחר שהות של שנים אחדות במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס (MIT) בארצות הברית, הוא הצטרף ב-1978 לסגל אוניברסיטת קיוטו ואף ניהל בה לימים את המכון למדעי המתמטיקה. ב-2019 הצטרף במינוי מיוחד למכון למחקר מתקדם באוניברסיטה זו. לאורך השנים זכה קאשיווארה באותות הוקרה רבים ביפן ומחוצה לה, בהן מדליית צ'רן היוקרתית המוענקת בקונגרס הבינלאומי למתמטיקה אחת לארבע שנים.
4 צפייה בגלריה
זכה באותות הוקרה רבים. קאשיווארה מקבל את מדליית צ'רן בכינוס הבינלאומי למתמטיקה, 2018
(צילום: ICM 2018, נחלת הכלל )
קאשיווארה נשוי מאז 1981 להירוקו, ובשעות הפנאי שלו הוא נהנה מטניס שולחן. זכייתו בפרס אבל היא גם הזכייה הראשונה של מתמטיקאי מארץ השמש העולה בפרס הזה. הפרס יוענק לו בטקס חגיגי באוסלו ב-20 במאי, במעמד מלך נורבגיה הראלד החמישי.
מנהגי אבל
נילס הנריק אַבֶּל, צעיר נורבגי מבריק שחי ונשם מתמטיקה עוד מנערותו, הצליח בחייו הקצרים להותיר חותם דרמטי על האלגברה, החשבון האינפיניטסימלי וגם תורת החבורות, שלה תרם כאמור קאשיווארה. אבל הלך לעולמו משחפת ב-1829, בגיל 26 בלבד. כמה עשרות שנים לאחר מותו, בסמוך לייסוד פרס נובל – שלא מוענק בתחום המתמטיקה – הציע המתמטיקאי הנורבגי סופוס לי (Lie) לייסד קרן לזכרו של אבל, אך לי עצמו מת זמן קצר לאחר מכן. דווקא מלך נורבגיה ושבדיה, שהיו אז מדינה אחת, הביע אהדה , אך המדינות התפצלו ב-1905 והרעיון נשכח מלב. כמעט מאה שנה אחר כך, היו מי שהוציאו אותו מהמגירה והפכו את הצוואה למפעל זיכרון מכובד.
יהונתן ברקהיים, מכון דוידסון לחינוך מדעי, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן למדע
